Aljabar Boole dan Peta Kernaugh (Sistem Digital)

SISTEM DIGITAL

BAB V

ALJABAR BOOLE DAN PETA KERNAUGH

ALJABAR BOOLE

1.HUKUM KOMUNITATIF

1.1. Hukum Komunitatif Untuk Gerbang Logika AND

Hukum Komutatif Untuk Gerbang Logika AND Gerbang OR dengan 2 masukan tertentu, yaitu A dan B, dapat dipertukarkan tempatnya dan dapat merubah urutan sinyal-sinyal masukan. Perubahan tersebut tidak akan mempengaruhi keluarannya. Dalam hukum persamaan Boolean hal ini dapat ditulis sebagai berikut : A . B = B . A = Y

1.2. Hukum Komutatif Untuk Gerbang Logika OR

Hukum komutatif aljabar boolean memiliki kesamaan degan aljabar biasa. Berikut ini akan kita lihat pemakaian hukum komutatif dalam gerbang-gerbang logika Hukum Komutatif Untuk Gerbang Logika OR Gerbang OR dengan 2 masukan tertentu, yaitu A dan B, dapat dipertukarkan tempatnya dan dapat merubah urutan sinyal-sinyal masukan. Perubahan tersebut tidak akan mempengaruhi Dalam hukum persamaan Boolean hal ini dapat ditulis sebagai berikut : A + B = B + A = Y

2.HUKUM ASOSIATIF

2.1. Hukum Asosiatif Untuk gerbang OR

Hukum Asosiatif untuk Gerbang Logika OR Gerbang OR dengan 2 masukan tertentu, yaitu A dan B, dapat dikelompokan tempatnya dan diubah urutan sinyal-sinyal masukannya. Perubahan tersebut tidak akan mengubah keluarannya. Dalam hukum persamaan Boolean ditulis sebagai berikut: A + ( B+ C) = ( A + B ) + C Pada hakekatnya cara pengelompokan variabel dalam suatu operasi OR tidak berpengaruh pada keluarannya. Artinya keluarannya akan tetap sama dengan : Y = A + B + C Perhatikan gambar berikut

2.2. Hukum Asosatif Untuk AND

Hukum Asosiatif untuk Gerbang Logika AND Gerbang AND dengan 2 masukan yaitu yaitu A dan B, dapat dikelompokan tempatnya dan diubah urutan sinyal-sinyal masukannya. Perubahan tersebut tidak akan mengubah keluarannya. Dalam hukum persamaan Boolean ditulis sebagai berikut: A. (B . C ) = ( A . B ) .C = Y

3.HUKUM DISTRIBUTIF

Gerbang AND dan OR dengan masukan tertentu, yaitu A, B¸dan C, dapat disebarkan tempatnya, dan dapat dirubah urutan-urutan sinyal-sinyal masukannya. Perubahan tersebut tidak akan mengubah keluarannya. Dalam persamaan boolean ditulis sebagai berikut : A. ( B + C ) = AB + AC

Sifat-sifat Khusus Aljabar Boole

Sifat Khusus dalam operasi Gerbang OR

– Kaidah Pertama : A + 0 = A 

– Kaidah Kedua : A + 1 = 1 

– Kaidah Ketiga : A + A = A 

– Kaidah Keempat :A+Anot= 

Sifat Khusus dalam operasi Gerbang AND – Kaidah Pertama : A . 0 = 0

– Kaidah Kedua : A.1 = A  

– Kaidah Ketiga : A . A = A 

– Kaidah Keempat : A . ? 

Sifat Absorpsi

Untuk membuktikan sifat atau teorema ini perhatikan persamaan berikut :

Kedua rangkaian logika diatas memiliki keluaran yang sama untuk kondisi masukan A dan B yang sama. Sifat Reduksi A + AB = A Untuk membuktikan sifat atau teorema ini perhatikan persamaan berikut:

Sifat Absorpsi

Untuk membuktikan sifat atau teorema ini perhatikan persamaan berikut :

Teorema De Morgan – Teorema Pertama

Persamaan gerbang logika NOR :

Rangkaian logika 2 masukan yang di “NOT” kan dan kemudian hubungkan ke gerbang AND

Dari rangkaian diatas dapat ditulis persamaan aljabar boolean sebagai berikut :

Karena kedua rangkaian diatas menghasilkan masukan dan keluaran yang ekivalen atau sama maka dapat dinyatakan sebagai berikut :

Teorema Kedua

Persamaan gerbang logika NAND :

Rangkaian yang terdiri dari logika NOT dan gerbang logika OR :

Rangkaian diatas dapat dituliskan ke dalam persaman berikut :

Kedua rangkaian logika diatas memiliki kesamaan sifat atau dapat dikatakan keduanya ekivalen sehingga dapat dibuktikan teorema de morgan sesuai dengan kedua persamaan di atas.

PETA KARNAUGH

Peta Karnaugh digunakan sebagai cara untuk menyederhanakan persamaan logika secara grafis, atau dapat pula dipandang sebagai metoda untuk mengubah suatu tabel kebenaran ke rangkaian logika yang sesuai secara sederhana dan rapi.

Peta Karnaugh untuk 2 variabel

Peta Karnaugh untuk 3 variabel

Peta karnaugh untuk 4 variabel

PENYEDERHANAAN DENGAN KARNAUGH MAP

Karnaugh Map adalah pengganti persamaan aljabar boole.Maksud penulisan variable pada peta (map) ini, agar dalam peta hanya ada satu variable yang berubah dari bentuk komplemen menjadi bentuk bukan komplemen

1. PENGELOMPOKAN NILAI VARIABEL (LITERAL)

– Pasangan(Pairs)

Adalah suatu pasangan nilai angka 1yang saling berdekatan dalam arah horizontal atau vertikal.Jika dalam sebuah peta karnaugh terdapat lebih dari satu pasangan, kita dapat melakukan operasi OR pada hasil kali yang telah disederhanakan itu, untuk memperoleh persamaan boole

-Kuad

Adalah kelompok yang terdiri dari empatbuah nilai angka 1 yang tersusun berdampingan dari ujung ke ujung. “Bila kita menjumpai suatu susunan kuad, maka lingkarilah kelompok itu, karenahal ini dapat menyederhanakan bentuk hasil kali semula. Dalam kenyataan, kehadiran sebuah kuad berarti terhapusnya dua variable beserta komplemennya dari persamaan boole.”

-Oktet

Adalah kelompok yang terdiri daridelapannilai angka 1 yangberdampingan. “Sebuah oktet selalu berarti penghapusan tiga buah variabel dan komponen-komponennya dari persamaan boole yang bersangkutan.”

Disederhanakan menjadi :

Kesimpulan : “ Dalam menyederhanakan persamaan boole, kita harus melakukan Identifikasi mulai dengan melingkari oktet, Kuad atau pasangan angka dari masing-masing dapat menghapuskan tiga, dua atau satu variabel.”

2.KELOMPOK KELEBIHAN (REDUNDANT)

Terdapat kelompok angka 1 ditengah yang perlu diperiksa, ternyata tumpang tindih baik angka 1 disebelah kiri ataupun disebelah kanan disebut pasangan Kelebihan dan harus dihapuskan agar diperoleh peta yang baik sederhana, yaitu sebagai berikut :

3. KEADAAN TIDAK PEDULI ( DON’T CARE )

Adalah dinyatakan dengan tanda x (tidak terjadi perubahan apapun pada keluaran, walaupun nilai masukan diubah) dan x dapat berupa nilai 0 atau 1.

4. PENGGULUNGAN PETA

Karena persamaan bolle di atas dihindarkan,karena masih dapat disederhanakan, maka pengeompokan angka 1 menggunakan cara penggulunganyaitu dalam bentuk Kuaddan dalam peta sebagai berikut :

Sumber : https://muhammadrezkifauzi1510951009.wordpress.com/2016/04/28/aljabar-boole-dan-peta-kernaugh-2/